Как сделать маленькое число


Как сделать маленькое число

Как сделать маленькое число

Как сделать маленькое число



Комментарии

Google says: Вова ():

Для этого надо рассмотреть число 1001= 71113. :))
и можно объединить:
Число делится на 7, 11 или 13, если знакопеременная сумма чисел, образованных тройками его цифр, взятыми с конца (последнее число со знаком +), делится на 7, 11 или 13 соответственно.

Хью (): блин так как на 7 определить делится или нет    Ответ редакции

Перечитайте второй пункт.

akasex (): Признак Паскаля...    Ответ редакции

От Паскаля слышу...

Аноним (): спасибо !    Ответ редакции

пользуйтесь !

Keyboarder (): Кто-нибудь может дать доказательство всех этих утверждений, если они вообще есть?    Ответ редакции

Последнее предложение перечитайте три раза.

Аноним (): Что-такое знакопеременная сумма чисел.    Ответ редакции

Не знаем (((
Может, сумма чисел с меняющимися знаками? Сначала знак "кирпич", потом знак "Осторожно, дети!", потом знак "гужевой транспорт".

Wind (): Число делится на 11, если знакопеременная сумма его цифр (последняя цифра со знаком +) делится на 11.
Можно сказать проще:
число делится на 11, если сумма цифр, занимающих четные места = сумме нечетных цифр, или отличается от нее на число, делящееся на 11.    Ответ редакции

Можно.

Аноним ():

пасиба!!!!!!!!

Марина ():

Те, что стоят на четных местах берем со знаком +, а на нечетных - с минусом.

евгений (): узнать признак делимости на 7 и 11    Ответ редакции

Узнавайте.

Нютик ():

спасибо! мне 5 за это поставмили.

Mary (): Число делится на 11 в том и только в том случае, если на 11 делится сумма, получаемая следующим образом: десятичную запись числа разбивают на группы по две цифры справа налево (самая левая группа может состоять и из одной цифры) и все полученные числа складывают.
Доказательство. Запишем число в системе счисления с основанием 100. , где коэффициенты - двузначные числа. Остатки от деления чисел 100, , …, , … на 11 равны 1. Действительно, , , и т. д. Здесь - сумма двузначных чисел.    Ответ редакции

Зачем такое сложно доказательство?
Рассмотрим разность между числом и знакопеременной суммой его цифр. В случае трёхназного числа abc это число равно 100a+10b+c, знакопеременная сумма его цифр равна a-b+c.
Разность между ними: (100a+10b+c)-(a-b+c) = 99a+11b = 11(9a+b)
Число справа делится на 11, значит либо и вычитаемое, и уменьшаемое либо одновременно кратны 11, либо одновременно некратны (они дают одинаковый остаток при делении на 11).
Возможность расписать доказательство в общем случае мы предоставляем нашим читателям. Подскажем, что все слагаемые в итоговой разности будут иметь вид 9...9 или 1(00..00)1 — во втором случае внутри скобок записано чётное число нулей. Для доказательства делимости чисел вида 1(00..00)1 на 11 можно прибегнуть к индукции, например.
Если в знакопеременной сумме цифр последняя цифра взята с минусом, а не с плюсом, то рассматривать надо не разность, а сумму.

Mary (): Знакопеременная сумма это +-+-+-+-+. Начинать расставлять знаки нужно с конца числа, причём первым, как уже было сказано обязательно должен быть +!    Ответ редакции

Какая разница, Mary? Вы думаете, так обязательно получится неотрицательное число? Необязательно.
А вообще отрицательные целые числа тоже могут делиться нацело.

Тайна (): как понять знакопеременная?    Ответ редакции

Марина написала уже.

Машутка (): Спасибо Благодаря вашему сайту я получила 5    Ответ редакции

Надеемся, что не по 12-балльной системе.

DGW (): Случайно нашел Вашу страницу. Спасибо, очень интересно.
У меня братик ходит в 5 класс и у него задача:
докажи, что если к любому трехзначному числу приписать трехзначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится число, делящееся на 11.
Из Ваших пояснений я понял, что (abc) равно 100a+10b+c, но я не могу объяснить ему (100a+10b+c)-(a-b+c). Объясните, пожалуйста, из каких соображений мы берем 2-е слагаемое (-(a-b+c))? Спасибо за помощь!    Ответ редакции

Если к трёхзначному числу abc приписать его цифры в обратном порядке, получится шестизначное число abccba, которое равно 100000a+10000b+1000c+100с+10b+a = 100001a+10010b+1100c = 11(9091a+910b+100c).
Очевидно, что полученное число делится на 11.
Я предполагаю, что в пятом классе умеют раскладывать число по разрядам, именно на этом решение и основано.
Если они знают признак делимости на 11 (не думаю, что они его доказывают, просто учат и используют), то можно применить этот признак к числу abccba. Знакопеременная сумма его цифр равна a-b+c-с+b-a = 0; 0 на 11 делится, значит и само число делится.

Аноним ():

Огромное спасибо!!!

Kleo ():

Подскажите пожалуйста,как определить четное или нечетное число делителей у числа n, и какое значение имеет степень в этом случае, например n^2, где n - натуральное число (12345^2)

th13f ():

спасибо

Alekcandra ():

Признак делимости на 7))
а общий вид?))это подходит только для больших чисел, которые состоят из количества цифр кратных 3

ultra mojito ():

блииин не поняла про 11 помогите кто нибудь

Аноним ():

непонятно

Аноним ():

скажите пожалуйста признак деления на 18 а то я дз не могу выполнить

Максим ():

Да признака делимости на 18 нет, но есть признаки делимости на 9 и 2, если на них число делится, то число делится и на 18.

Аноним ():

Подскажите пожалуйста, делится ли число 11...111 (единиц 2009) на 7????

Аноним ():

нет, не делится!!!

Аноним ():

а как на 27 делить
а то признака нигде найти не могу
Помогите пожалуйста

Елена ():

привет от учителя математики и спасибо! только теперь это надо ещё и детям объяснить%)

Аноним ():

а можно пример деления многозначного числа на 7? а то что-то не очень понятно.

Олег ():

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

Олег ():

Ну и если кому-то понадобится - натолкнулся случайно:
Признаки делимости Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление. Рассмотрим несколько основных признаков деления:
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).
Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10n при делении на 11 дают в остатке (-1)n.
Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.
Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).
Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).
Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 42) = 414 продолжаем 4 + (3 14) = 46 очевидно делится на 23).
Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.
Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.
Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).
Признак делимости на 2n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 5n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 10n-1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n - 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n - 1.
Признак делимости на 10n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр - нули.
Признак делимости на 10n+1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n + 1.

=) ():

Вот Олег-молодец! Всё понятно написал,а то Знакопеременная сумма.....

Даниил ():

Нашел вашу страницу. Меня интересует задача: два трехзначных числа не делятся на три. Как доказать, что либо сумма этих чисел, либо их разность делится на три? Задали в 6 классе.
Помогите, пожалуйста

мира ():

спасибо, очень быстро нашла признак на 7

Аноним ():

Где доказательства этого всего?(((((

))) ():

Подскажите пожалуйста признак делимости на 27

Yana ():

Надеюсь,поможет получить 5...)

Аноним ():

Вопрос по признаку делимости на 7: А если количество цифр в числе не делиться на 3. например состоит из семи цифр

Мария ():

Ребятки, помогите решить задачку. Доказать, что если какое либо двузначное число делится на 7, то на 7 делится и число обращенное и увеличенное на колличество десятков данног числа. (например, 14 делится на 7, и число 41+1=42 делится на 7).

Аня (): А у меня тут такой вопрос,вернее не у меня,а у моей племяшки,помогите,пожалуйста, решить вот такую штуку:"Докажите,что разность трехзначного числа и числа,записанного теми же цифрами в обратном порядке ,делится на 9."Будем признательны за помощь:)    Ответ редакции:  Аноним ():

СУПЕЕЕР

селя мл. ():

люди, а есть что нибудь по-понятней для 6класса?

Аноним (): самый тупой сайт который я видела!!!!    Ответ редакции

ок

ВеЛиКиЙ МаТеМаТиК ():

Ей богу я не хира не поняла. И как ме по математике здавать???

ЛиЗа ():

Ей богу самого глепого сайта в жизни не видали

аня ():

ВеЛиКиЙ МаТеМаТиК
Ей богу я не хира не поняла. И как ме по математике здавать???
тогда не считайте себя "ВеЛиКиЙм МаТеМаТиКом";) всё бонально просто!

Юлечка ():

Очень всё понятно расписано в районе 4 страницы Олегом (запись от 02.03.10). Практически на пальцах. Спасибо.

Александр ():

Всем здравствуйте. Помогите решить задачку!
Найдите все семизначные числа, все цифры которых различны и которые делятся на все эти цифры.

luci ():

Помогите пожалуйста разобраться в решении и объясните что к чему:a+b+c=328

ответ ():

редакция вам ответ: сумма цифр трехзначного числа делится на 9 с каким-то остатком, то если поменять порядок, то остаток будет таким же при делении на 9, при вычитании одного числа из другого остатки тоже вычитаются, получается остаток при делении на 9 будетт 0

ХХХ ():

Олег молодец!!!

Gustaf ():

Не могу понять в чем моя ошибка при применении метода паскаля - может подскажете?
Делю на 7 число 16777215 (делится на 7 без остатка), но многочлен паскаля с коэффициентами r1..r5 {3,2,6,4,5,1} не дает сумму, которая без остатка делится на 7. Вот сумма = 1[1]+1[6]+5[7]+4[7]+6[7]+2[2]+3[1]+[5]=124.
В чем ошибка?

рита ():

люди можете написать те числа которые делятся на 3 и на 4 сразу

алинка ():

а как доказать что число АБАБАБ делится на 7????? (А,Б - цифры)

Ksuxa ))) ():

Глупый сайт и ничего непонятно !!! УЖАС !!!

фотограф ():

Помогите пожалуйста! мне нужно решить задачу: каких натуральных чисел больше(от 1 до 1 000 000):делящихся на 11, но не делящихся на 13, или делящихся на 13, но не делящихся на 11?

Александр ():

А как тогда узнать делится число 3^60 - 2^60 на 11? Кто знает помогите, реально надо!!!!!!
можно и в скайп skript999

Аноним ():

Сайт Спер Мне к егэ
очень помогло

Егор ():

Олег браво !!

Никита ():

можете помочь??? нужно доказать что число делится на 7(11,13) тогда и только тогда когда разность между числом, составленным из 3-ёх последних цифр данного числа, составленным из оставшихся цифр делится на 7(11,13)

Аноним ():

А есть примеры???

Аноним ():

Херня полная!Объясняйте лучше!Я тока через полчаса сам допер!

Аноним ():

помогите решить задачку: Докажите, что среди 2011 натуральных чисел можно выбрать два числа разность которых делится на 11.

света ():

в признаке делимости на 11 - 10n или 10 в степени n?

Аноним ():

докажите плиз подробно необходимые и достаточные признаки делимости на 4, 5, 9 и 25

Тома ():

Решение задачи для Александра(27.10.10). Конечно, поздновато, но, может, ещё пригодится:
Задача 3. делится ли число 3^60 - 2^60 на 11?
Решение :3^60-2^60=(3^30-2^30 )∙(3^30+2^30 )=(3^10-2^10 )∙(3^10+2^10 )∙(3^20+3^10∙2^10+2^20 )∙(3^20-3^10∙2^10+2^20 )=(3^5-2^5 )∙(3^5+2^5 )∙(3^10+2^10 )∙(3^20+3^10∙2^10+2^20 )∙(3^20-3^10∙2^10+2^20 )
Произведение делится на простое число, если хотя бы один из множителей его разложения делится на это число. В общем случае вычисления могут оказаться весьма громоздкими, но в нашем случае, если начать перебор, начиная с меньших множителей, получаем результат на 2 шагу.
3^5=243; 2^5=32,тогда 3^5-2^5=211⋮ ̅11
3^5+2^5=275⋮11,т.к.2+5-7=0⋮7
Ответ: делится.

Тома ():

Когда увидела, во что превратилась на сайте запись моего решения, поняла, что нужно написать комментарии:
1 шаг: 3^60 - 2^60 сначала разложить по формуле разности квадратов, затем, полученные сумму и разность разложить по формулам, соответственно, разности кубов и суммы кубов. Первую скобку разности кубов разложить ещё раз по разности квадратов.
Получится сумма и разность пятых степеней тройки и двойки.
2 шаг: вычислим пятые степени и найдём сначала разность. Она равна 211 и не делится на 11, а сумма даёт 275. Это число делится на11 по признаку.

Тома ():

Ответ (скорее всего, запоздалый) на запись фотографа от (25.10.10):
Помогите пожалуйста! мне нужно решить задачу: каких натуральных чисел больше(от 1 до 1 000 000):делящихся на 11, но не делящихся на 13, или делящихся на 13, но не делящихся на 11?
Решение: В миллионе содержится 90909 чисел, делящихся нацело на 11, т.к. 1000000: 11 = 90909(1) и 76923 числа, делящихся нацело на 13, т.к. 1000000:13 = 76923(1), а также 6993 числа, которые делятся одновременно на 11 и на 13,т.е. на их произведение 143, т.к. 1000000: 143 = 6993(1).
Количество чисел, делящихся на 11 и не делящихся на 13, составляет 90909-6993=83916, а делящихся на 13 и не делящихся на 11, будет 76923-6993=69930.
Ответ: в миллионе больше чисел, делящихся на 11 и не делящихся на 13, чем чисел, делящихся на 13 и не делящихся на11
Замечание: Все вычисления можно было не проводить: 11 меньше 13, значит частное от деления миллиона на 11 больше частного от деления миллиона на 13. Из этих частных вычитается одно и то же количество чисел, которые делятся и на 11 и на 13 одновременно. По свойству числовых неравенств, смысл неравенства не изменяется, если из его обеих частей вычесть одно и то же число.

NЛЬR ():

А как определить, что признак делимости на 7, именно кратность семи ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ СУММОЙ ЧИСЕЛ, ОБРАЗОВАННЫХ ТРОЙКАМИ ЕГО ЦИФР, взятыми с конца(ПОСЛЕДНЕЕ ЧИСЛО СО ЗНАКОМ +)?
(Что нужно определить, я выделил)

ЯЯЯ ():

Найдутся ли хотя бы 3 десятичных числа, делящихся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9.

света ():

мне надо доказать обратное утверждение для каждого признака делимости.(7класс)

КатюшКА ():

Спасибо=)
Очень пригодилось=)))

Тома ():

Ответ для ЯЯЯ
Найдутся ли хотя бы 3 десятизначных числа, в записи которых использованы все цифры от 0 до 9, которые делятся на 11.
Решение:
Число делится на 11, когда делится на 11 знакочередующаяся сумма цифр числа!
Сумма всех цифр любого числа из условия 0+1+..+9=45
Из всех возможных разностей соответствующих сумм на 11 делятся числа: 0; 11; 22; 33; 44.
Сумма цифр любого числа из условия 0+1+..+9=45,
значит о и 22 и 44 не подходят, т.к. в этом случае разности получатся дробными, чего не может быть.
Если разность 33, то суммы соответственно равны 39 и 6, что невозможно: наименьшая сумма пяти слагаемых 0+1+2+3+4=10.
Т.о. разность сумм не может составлять 33.
Это значит, что разность сумм должна равняться 11: т.е. суммы могут принимать значения 17 и 28.
Осталось подобрать такие пятёрки различных чисел от 0 до 9, суммы которых равны 17, тогда суммы оставшихся чисел от 0 до 9 принимают значение 28.
Найдём такие суммы:
2+0+4+5+6=17, тогда 1+3+7+8+9=28
Числа, удовлетворяющие условию, например,
2103475869; 1230748596; 4103276859 и т.д.
Возможны другие суммы:
1+0+3+7+6=17, тогда 2+4+5+8+9=28
1+2+3+4+7=17, тогда 5+6+0+8+9 = 28
и т.д.
Т.о. не только удалось показать существование 3 чисел, удовлетворяющих условию, и привести примеры этих чисел, но и показать способ их конструирования.

Даша ():

кто знает.....?..признак делимости на 22, 33, 36, 45, 55, 75 ..подскажите филологу))))

Тома ():

Даша! Числа,признаки делимости на которые Вы спрашиваете, являются составными. 22=112, следовательно, чтобы число делилос. на 22, оно должно делиться на 2 и на 11, т.е. быть чётным и его знакочередующаяся сумма цифр долна делиться на 11. 33=311 - значит долен выпоняться признак делимости на 3 (сумма всех цифр числа делится на3) и признак делимости на 11. 45=59 На 5 делятся числа,оканчивающиеся на 0 и на 5, а на 9, сумма цифр которого делится на 9. 55=511 - требуется выполнение приведённых выше признаков делимости на 5 и на 11. 75=325. Число делится на 25, если оканчивается на 25,50,75,00. Признак делимости на 3 приведён выше. Дальше, используя известные признаки делимости, можете сами проверять делимость чисел, разложив их на удобные(не всегда простые) множители.

Мария ():

существует ли 36-значное число,36-я степень которого оканчивается самим этим числом?

ученик ():

помогите решить задачу
найдите наименьшее число, котороет при делении на 13, 11 и 7 дает остаток 1, а на 3 делится нацело

ученик ():

уже сам нашел число, но не знаю, как объяснить решение

Тома ():

Искомое число 1002.
Наименьшее число, которое без остатка делится на 7,11 и 13 есть их произведение, т.к. числа простые. Оно равно 1001 ( число Шахразады). Следовательно, наименьшее число, которое при делении на все данные числа даёт в остатке 1 - на единицу больше числа, которое на них делится нацело, т.е. 1001+1=1002. Т.к. сумма цифр найденного числа делится на 3, то оно удовлетворяет и второму требованию, т.е. делится нацело на 3.

natasha ():

найдите все такие простые числа Р, что 8Р^2(в квадрате) + 1 тоже простое Сумма нескольких натуральных чисел делится на 6.Всегда ли сумма кубов этих чисел будет делится на 6

вииик@ ():

я чет не врубилась...

Тома ():

Сумма нескольких натуральных чисел делится на 6.Всегда ли сумма кубов этих чисел будет делится на 6?
Рассмотрим сумму кубов нескольких чисел. К каждому кубу прибавим и вычтем его основание : a3= a+(a3 – a); b3= b + (b3 – b); c3= c+(c3 – c) и. т.д. преобразуем сколько угодно слагаемых. Тогда сумму кубов можно представить в виде суммы слагаемых, каждое из которых делится на 6.
a3+b3+c3+…… = a+(a3 – a)+ b + (b3 – b)+ c+(c3 – c) +……= (a+b+c….)+
+ (a - 1)a(a+1) + (b - 1)b(b +1) +(c – 1)c(c+1)+… ()
Слагаемое (a+b+c….) делится на 6 по условию. Разложим на множители каждую из разностей вида (a3 – a) = (a - 1)a(a+1) . При а=1 произведение
(a - 1)a(a+1)=0 - 0 делится на любое число, в том числе и на 6. Если а больше или равно двум, то (a - 1)a(a+1) – произведение трёх последовательных натуральных чисел, которое всегда делится на 6.
Если каждое слагаемое суммы делится на какое-то число, то и сумма делится на это число. Т.к. в правой части выражения () все слагаемые делятся на 6 при любых натуральных a,b,c…., то и левая часть a3+b3+c3+…… делится на 6.
Ответ: если сумма нескольких натуральных чисел делится на 6, то и сумма кубов этих чисел делится на 6.

Тома ():

найдите все такие простые числа Р, что 8Р^2(в квадрате) + 1 тоже простое.
Рассмотрим частные случаи: пусть p=2, тогда 8p2 + 1=84+1=33 – делится на 3;
При p=3 8p2 + 1=89+1=73 – простое число.
При p=5 8p2 + 1=825+1=201 – делится на 3.
При p=7 8p2 + 1=849+1=399 – делится на 3.
Похоже, что числа вида 8p2 + 1, где p - простое и p 3 делятся нацело на 3. Проверим полученное предположение. При делении на 3 все числа могут давать остатки r, равные 0, 1, и 2, значит все значения p могут принять вид:
r=0 p = 3k – однако, это не возможно, т.к. p делится только на 1 и на себя, а полученные числа делятся нацело на 3.
r=1 p = 3k+1, тогда 8p2 + 1= 8(9k2+6k +1) +1 = 72k2 +48k+8+1= 3(24k2 +16k+3), т.е. все числа такого вида делятся на 3 и не могут быть простыми.
r=2 p = 3k+2, тогда 8p2 + 1= 8(9k2+12k +4) +1 = 72k2 +96k+32+1= 3(24k2 +32k+11), т.е. все числа такого вида делятся на 3 и не могут быть простыми.
Удалось показать, что 8p2 + 1 делится на 3 при любых значениях p , кроме 3.
Т.о. 8p2 + 1=73 - простое число только при p =3.
Ответ: p =3.

Аноним ():

А ПО ЧЕЛОВЕЧЕСКИ ОБЪЯСНИТЬ МОЖНО!!!!!!!!!!

Тома ():

“Искра знания возгорается в том, кто достигает понимания собственными силами”.
Индийский математик XII века Бхаскара.

Никто ():

Фигня, гвно полние не фига не понятно кто согласен пишите за

Ислам ():

Нечего путного,побольше примеров! И ПО ПОНЯТНЕЙ ВЫРАЖАЙТЕ СВОИ МЫСЛИ!

Аноним ():

за

Михаил ():

Число делится на 84 если оно делится на 2, 6 и 7.

6aPa6yJIka (): А когда число делится на 6?    Ответ редакции

По субботам.

яночка ():

привет! помогите пожалйста решить задачу: найдите трехзначное число кратное 45,если разность между этим числом и числом, записанном теми же цифрами в обратном порядке равна 297

Тома ():

Обозначим искомое число xyz, где x – число сотен, y – число десятков, а z – число единиц. Ясно, что x, y, z могут принимать только натуральные значения, причём x- от 1 до 9, y - от 0 до 9, z – от 1 до 9 (если x=0, то число не будет трёхзначным, а если z=0, то не будет трёхзначным число, записанное теми же цифрами в обратном порядке). Искомое число представим в виде 100x + 10y + z, тогда число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид 100z +10y +z. Запишем их разность:
100x + 10y + z – (100z +10y +x) = (100x-100z) + (10y-10y) – (x-z) = 100(x-z) - (x-z) = 99(x-z)
По условию 99(x-z) = 297, отсюда x-z = 3,
или х=z + 3 Имеем следующие возможности: z=1, тогда x=4;
z=2, тогда x=5; z=3, тогда x=6; z=4, тогда x=7;
z=5, тогда x=8; z=6, тогда x=9. По условию искомое число делится на 45, значит, оно делится на 5 и на 9. Чтобы число делилось на 5, оно должно заканчиваться на 5, т.к. z не может быть нулём. Т.о. возможна только пара x=8, z=5. Чтобы найти y, учтём, что число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9, т.е. x + y + z кратна 9. Сумма x+z=13, значит x + y + z = 18, а тогда y = 5. Искомое число 855.
Проверяем : 855: 45=19, 855 – 558 = 297.
Ответ: 855.

Тома ():

PS Заметила опечатку в 4-ой строке: число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид
100z +10y + x.

ypa ():

спасибо помогло

1120 ():

Какое высказывание верно?
1. число 0 кратно любому числу
2. число 0 не кратно никакому числу

Тома ():

Верно первое высказывание при условии а не равно нулю.: свойство умножения 0а=0 при а не равном нулю, следовательно 0:а=0 при а не равном нулю.
Возможно, в условии задачи речь шла о натуральных числах?

Тома ():

Вчера погорячилась: свойство умножения 0а=0 верно всегда, а вот 0:а=о верно для всех а, кроме нуля. Таким образом, в данной формулировке оба высказывания ложны.

Алёна (): если редакция ничего не знает, зачем писать???    Ответ редакции

Алёна/Катерина, редакция может ничего и не знает, но айпишники видит.
Не надо имитировать народное недовольство редакцией.
Спасибо.

Екатерина (): 6aPa6yJIka (11.04.11):
А когда число делится на 6?
Ответ редакции:
По субботам.
а можно нормально объяснить?    Ответ редакции

6 = 2 3
Поэтому число делится на 6, если оно делится на 2 (последняя цифра - чётная) и на 3 (сумма цифр числа кратна трём).
Что такое "чётная цифра" надо объяснять?

наталья (): подскажите пожалуйста какое самое большое число до 33 делится без остатка на 4,5,6,7,8,9    Ответ редакции

9875 = 2520
насчёт до 33 - вас обманули.

Наталья Еремина ():

Помогите решить задание:
В рассуждении востановите пропущенную посылку "127 не делится на 2, следовательно 127 не является четным"

Ира ():

Можно доказательство признака делимости на 7. Пожалуйста:)

саша ():

а можно по нормальному объяснить

Угадай кто ():

\\\\\\\ЗДЕСЬ ЧЁ ПО НОРМАЛЬНОМУ НЕ ОБЪЯСНЯЮТ\\\\\\\\\\\\:-)

вика ():

я вообще ничего не поняла!

123 ():

Доказать что (abc-cba)делятся на 9
(абс и сба цифры)

анюта ():

я ничего не поняла из этих слов я в 6 классе

анирак ():

ааааа хорошо то как теперь 2 не поставят а 5 поставят спасибос большоес))))

Феня ():

Большес спасибочки!!!

рита ():

4114 делится на 11, а как обьяснить не знаю,
подскажите пожалуйста

Лиска ():

Внимание!Кто не понимает признак деления на 7, можете делать так. Например:
364:7, так как 36-42=28 28 делится на семь без остатка!
Или просто считайте на калькуляторе!

рита ():

пожжалллуйста

Аноним ():

Найти трёхзначное число,первая цифра которого 2 делиться на 2 на 5 и на 9?

Skaylayn ():

свойства делимости на 7

6 класс ():

Подскажите мне пожалуйста 5 чисел, которые делятся и на 11 и на 7

6 класс ():

Извините 5 четырехзначных

Аноним (): Помогите пожалуйста!Какое наименьшее четырёхзначное число делится на 13?    Ответ редакции

Делим в столбик 1000 на 13, получаем 76 и остаток 12. Умножаем 77 на 13, получаем 1001. PROFIT!

Аноним ():

а какой признак делимости на 111???

Мария ():

Просто заметила комментарии типа "я ничего не понял, я в 6 классе". А что вы тогда в 6 классе делаете?! Я тоже в шестом, но ведь всё довольно понятно!
З.Ы. Спасибо большое, благодаря вам, у меня дополнительная пятерка ^^

^^машка^^ (): какое число делиться на 11 и 13???    Ответ редакции

1113=143
числа простые, поэтому они общих делителей не имеют

я ():

не понял признак делимости на 7

Юлия ():

Помогите решить :Докажите что 13+13^2(в квадрате)+13^3+13^4+,,,+13^2009+13^2010 делится нацело на семь?

даша ():

бред я не что не поняла

Миша ():

при каких делителях остаток не может равняться 2,4,7?

Тома ():

Остаток всегда меньше делителя, значит пи делении на 2 не может быть остатка 2, при делении на4 не может быть остатка 4, при делении на 7 не может быть остатка 7. Если в задаче имеется ввиду, что при делении не может появиться ни один из предложенных остатков, то делитель 2.

Аноним ():

КАКОЕ ТРЁХКРАТНОЕ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ БЕЗ ОСТАТКА НА 7,НА 8,НА 9.

Ольга ():

Помогите решить голова уже пухнет: доказать что число вида аааиии делится на 37 и найти все трехзначные чилса которые уменьшаются в 13 раз при вычеркивании средней цифры

Тома ():

КАКОЕ ТРЁХКРАТНОЕ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ БЕЗ ОСТАТКА НА 7,НА 8,НА 9.
Вероятно, Вы имели ввиду трёхзначное число. В этом случае искомое число должно делиться без остатка на 7, 8,и 9,т.к. они взаимно простые. Единственное трёхзначное число, удовлетворяющее этим требованиям, 789=504.

ДоБрОжЕлАтЕлЬ (): Не думайте, что я мошенник.Есть хороший сайт, я там сижу.Хотите проверяйте,хотите нет-там есть ГДЗ по всем предметам.На всякий случай кину ссылочку:    Ответ редакции

Есть много хороших сайтов, мошенник.

Алинка ():

Ребят, не поняла признак делимости на 7....(
Объясните попроще пожалуйста.

Леонид Васильевич ():

Предлагаю другой признак делимости чисел на 7: исходное число (в десятичной системе счисления) переводим в восьмеричную систему счисления и если сумма цифр этого восьмеричного числа равна или кратна 7, то тогда и только тогда исходное десятичное число делится на 7. Пример: десятичное число 259 - переводим в восьмеричную систему счисления - получаем 403 - сумма цифр этого числа равна 7, значит исходное десятичное число 259 делится на 7.

malek ():

помогите решить задачу если число кратно 99, то сумма его цифр не меньше 18 пожалуйста!!!!

Алёнка (): Пожалуйста, помогите: Какое число делится и на 7 и на 8 и на 9 без остатка    Ответ редакции

789 = 504
меньше чисел нет, потому что 7,8,9 не имеют общих делителей.

Кирилл ():

Помогите решить задачу. Лиза выбрала двузначное число , не делящееся на 10. Поменяла его цифры местами и вычислила разность полученных чисел.. Какое самое большое число она могла получить?

N. ():

72

:):):) ():

я нифига не поняла...(((((((((((((

Jet ():

Помогите решить задачу. Лиза выбрала двузначное число , не делящееся на 10. Поменяла его цифры местами и вычислила разность полученных чисел.. Какое самое большое число она могла получить?
Решение:
10a+b, b≠0 - так как Лиза выбрала двузначное число, не делящееся на 10;
10b+a - Лиза поменяла цифры числа 10a+b;
разность (10b+a) - (10a+b) = 9b-9a = 9(b-a)
b≠0 и может принимать значения от 1 до 9, a может принимать значения от 1 до 9.
для того чтобы значение выражения 9(b-a) было наибольшим, надо чтобы b=9 и a=1
9(9-1)=98=72
Лиза выбрала число 19

Jet ():

КАКОЕ ТРЁХКРАТНОЕ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ БЕЗ ОСТАТКА НА 7,НА 8,НА 9.
Вероятно, Вы имели ввиду трёхзначное число. В этом случае искомое число должно делиться без остатка на 7, 8,и 9,т.к. они взаимно простые. Единственное трёхзначное число, удовлетворяющее этим требованиям, 789=504.
поправочка небольшая
В этом случае искомое число должно делиться без остатка на 7, 8,и 9,т.к. они взаимно простые в совокупности.
Определение
Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.
Например,
8, 15 — не простые, но взаимно простые,
2, 7 — простые и взаимно простые.
Если среди чисел a(1), a(2),..., a(k) любые два являются взаимно простыми, то числа a(1), a(2),..., a(k) называются попарно взаимно простыми.
Например,
6, 8, 9 — не попарно взаимно просты (так как числа 6 и 8 (6 и 9) не взаимно просты).
8, 15, 49 — попарно взаимно просты.
Если же наибольший общий делитель чисел a(1), a(2),..., a(k) равен 1, то числа
a(1), a(2),..., a(k) называются взаимно простыми в совокупности.
Например,
6, 8, 9 - взаимно простые числа в своей совокупности,
3, 4, 9 - взаимно простые числа в своей совокупности.

Jet ():

Найдутся ли хотя бы 3 десятизначных числа, в записи которых использованы все цифры от 0 до 9, которые делятся на 11.
Решение:
1) десятизначное число, в нем 5 цифр стоят на четных местах, 5 на нечетных, то есть у нас две группы, а именно сумма цифр на четных местах и сумма цифр на нечетных местах, обозначим сумму цифр на нечетных местах a, а на четных b
2) по условию сказано, что десятизначное число содержит десять различных цифр, как ни крути от перемены слагаемых сумма не меняется, то есть сумма двух групп будет
a+b=(сумма на нечетных)+(сумма на четных)=0+1+2+...+9=45
3)по признаку делимости на 11 дестизначное число делится на 11 тогда и только тогда, когда |a-b|=11n, n=0;1;2;...
4)на этих условиях составляем систему
a+b=45
|a-b|=11n, n=0;1;2;...
из первого уравнения выразим b=45-a и подставим во второе
|a-(45-a)|=11n
|2a-45|=11n
5)решим полученное уравнение
|2a-45|=11n
пусть n=0, тогда 2a=45, a=22,5, но сумма целых чисел целое число, следовательно, значение n=0 мы отбрасываем;
пусть n=1, тогда 2a=45+11, 2a=56, a=28, a=1+3+7+8+9=28 например
пусть n=2k, тогда 2a=22k+45, 22k+45 - нечетное, нечетное не делится нацело на четное, следовательно, n-нечетное
пусть n=3, тогда 2a=33+45, 2a=78, a=39 - не может быть так как сумма пяти наибольших однозначных чисел равна 5+6+7+8+9=35.
при других значениях n значение числа a будет больше 39, следовательно, данному уравнению удовлетворяет только n=1.
Ответ: да найдутся, например, 5968472301, 6958472301 и 5908472361 что и требовалось доказать.

Тома ():

Yet! Спасибо за очередное красивое решение задачи о делимости на 11. Безусловно принимаю Ваше уточнение о числах взаимно простых и взаимно простых в совокупности, но в школьных учебниках это понятие не вводится, а решение написано для школьников. Если возможно, напишите, пожалуйста Ваше решение задачи от Александра. Мне удалось построить примеры таких чисел, но найти всё множество представляется весьма затруднительным из-за технических сложностей. Возможно существует какой-то подход, который даст всё множество.
Заранее благодарна.
Александр (21.09.10):
Всем здравствуйте. Помогите решить задачку!
Найдите все семизначные числа, все цифры которых различны и которые делятся на все эти цифры.

Коз ():

У меня такой вопрос, 9:9=1 какой у это примера остаток?

Тома ():

Остаток равен нулю.

Леонид Васильевич (): Уважаемая редакция! Прошу прокомментировать мое предложение по признаку делимости чисел на 7. Напоминаю суть предложения: исходное число в десятичной системе счисления переводим в восьмеричную систему счисления и, если сумма цифр этого восьмеричного числа равна или кратна 7, то тогда и только тогда исходное десятичное число делится на 7.    Ответ редакции

А что, есть какие-то элементарные способы перевода в восьмиричную систему счисления из десятиричной?
Можно тогда уж сразу столбиком на 7 разделить и посмотреть, есть ли остаток.

lfsr ():

сумма кубов трех чисел делится на 7, доказать что произведение трех этих чисел делится на 7.
a^3 + b^3 + c^3 делится на 7, доказать что abc делится на 7.
Желательно 2-мя способами, через признак делимости и через деление с остатком.

Alina ():

Признак делимости на 27
Разделите число на блоки по 3 цифры справа налево. Число делится на 27 тогда и только тогда, когда сумма всех блоков делится на 27.

Alina ():

Интересная задача на признак делимости на 7:
Сумма цифр трехзначного числа, все цифры которого различны, делится на 7; само число также делится на 7. Найти все такие числа.
Взято из книги Е.В.Галкин Задачи с целыми числами. -М.: Просвещение,2012. Задача №306, стр.59.

данилко (): Помогите пожалуйста решить задачу:" Цифры a, b, c, таковы, что 2c=3a+b, доказать, что число 100a+10b+с делится на 7"    Ответ редакции

Из 2c=3a+b следует, что b=2c-3a
100a+10b+c = 100a+10(2c-3a)+c = 100a+20c-30a+c=70a+21c=7(10a+3c) — это число делится на 7

иор ():

какие признаки делимости на45и на12

лайк ():

какой признак делимости на 13,объясните по понятней

LordRaLL ():

а есть делимость на 13??если да то объясните плиз!

black ():

помогите найти наименьшее десятичначное число,кратное 7,все цифры десятичной записи которого различны

Ангелина ():

не могу выучить

.. ():

Ну и правила как их учить..

Призрак_Времени ():

Что такой знакопеременная??Вообще не понятно

Призрак_Времени (): А не могли бы вы более доступно объяснить??    Ответ редакции

Знакопеременная: берём последнюю цифру со знаком плюс, предпоследнюю — со знаком минус, предпредпоследнюю - снова с плюсом, следующую - с минусом. И считаем эту сумму (точнее, сумморазность). Если получается что-то кратное 11, например 0, +11, -11, +22, -22 - то и само число делится на 11.
Например возьмём число 12364. Его знакопеременная сумма: +4-6+3-2+1 = 0, поэтому само число 12364 делится на 11.

Аноним ():

Найдите наименьшее десятизначное число кратное 7 все цифры десятичной записи которого различны.Помогите пожалуйсто

Аноним (): сумма натуральных чисел которые делятся на 7 и не делятся на 13?? помогите пожалуйста    Ответ редакции

Таких чисел слишком много (бесконечность)

Аноним ():

ну можете хотя бы один пример привести с объяснениями,пожалуйста..очень надо

ВАДИМ ():

Я смотрел другой сайт там все понятно. Сейчас думаю что это как-то непонятно. Я бы написал признаки и получше.

Аноним ():

подскажите наименьшее десятизначное число,кратное 7 все цифры которого различны

нюська ():

подскажите пожалуйста как:Доказать, что если записать в обратном порядке цифры любого натурального числа, то разность исходного и нового числа будет делиться на 9.

gulka (): podskajite plizz... dvuxznacnoe cislo bolshe 50ti,kotoroe pri delenii na 2 dayot ostatok 1,pri delenii na 9 dayot v ostatke 2,a pri deleniina 8 ostatok raven 3yom.    Ответ редакции

83 & translit.ru

МОД (): сайт херь модератор лол    Ответ редакции

зато комментаторы интеллектуалы

Антропос математикос (): Замечательный сайт.
Был бы рад его развитию. Напрмер, раздел с задачами о делимости многочленов над простыми полями.    Ответ редакции

ἄνθρωπος μαθηματικός, крутой ник.
Мы бы тоже были рады развитию, но штат маловат.

Антропос математикос (): Re Вы не похожи на человека, извините.
Сам ты робот
А я на высокое звание "хомо сопящего" не претендую    Ответ редакции

В следующей версии сайта уберём капчу, есть более удобные способы борьбы со спамом.

Спрашивающий (): А Как доказать, что произведение нескольких натуральных чисел не может заканчиваться на 13? ..13    Ответ редакции

213 = 3 × 71
Если имеется в виду произведение нескольких последовательных натуральных чисел, тогда да: произведение любых двух последовательных натуральных чисел чётно, потому что хотя бы один из множителей чётен.

Спрашивающий ():

А... вот как. Спасибо!

неизвестная (): плиз признаки делимости на 45 плиииииииз оч надо    Ответ редакции

45 это пятью девять
на 5 (число заканчивается нулём или пятёркой) и на 9 (сумма цифр числа кратна 9)

-------------------- (): Этот сайт полное ничтожество!!!    Ответ редакции

Какие комментаторы, такой и сайт.

Антропос математикос (): Я посоветовал бы редакции не показывать неконструктивную критику.
Если некоему интеллектуалу от критики не понравится, скажем, Ваш автомобиль, и он, не найдя лучшего способа выразить свои эмоции, плюнет на бампер, Вы, я полагаю, не станете возить его творчество.
С уважением,    Ответ редакции

ἄνθρωπος μαθηματικός, приветствую вас.
Про неконструктивные критиков, которые тратят время и на капчу, и на комментарий, написал классик: "Я бежала за вами три дня и три ночи, чтобы сказать, как вы мне безразличны".

Антропос математикос (): Я посоветовал бы редакции не показывать неконструктивную критику.
Если некоему интеллектуалу от критики не понравится, скажем, Ваш автомобиль, и он, не найдя лучшего способа выразить свои эмоции, плюнет на бампер, Вы, я полагаю, не станете возить его творчество.
С уважением,    Ответ редакции

ἄνθρωπος μαθηματικός

Антропос математикос (): Не получается вставить юникод в это окно.
Не посоветуете, как это сделать?    Ответ редакции

Да надо переделать сайт на utf8 просто.
Движок старенький уже.

Ева ():

вы мне помогли! СПАСИБО!!!

Аноним (): Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (т. е. 182919 делится на 11 т. к. 1-8+2-9+1-9 = −22 делится на 11 (т. к. все числа вида 10^n при делении на 11 дают в остатке 1 или -1.))    Ответ редакции

Ну так вроде и написано.

Алина (): что такое знакопеременная?помогите,срочно надо!    Ответ редакции

последняя цифра с плюсом, предпоследняя - с минусом, и так до первой меняя знаки
или наоборот - первая с плюсом, вторая с минусом и до последней

Алина Лайдус ():

спасибо:)

Алина Лайдус (): а есть другие признаки делимости на некоторое(другое) число?    Ответ редакции

из простых - 2,3,5,9,11 и их произведения.

Алина Лайдус (): как понять:"образованы тройками его цифр"?помогите,срочно надо!    Ответ редакции

Возьмём число 1234567890
Тройки его цифр (с конца): 890, 567, 234, 1
Знакопеременная сумма троек: + 890 - 567 + 234 - 1 = 556
Поэтому остаток от деления числа 1234567890 на 7 такой же, как и при делении 556 на 7
Тоже самое справедливо если вместо 7 поставить 11 или 13

Аноним ():

да блин нифига не ясно!!!

Сигирия ():

Редакция, вы великолепна! :))))

Lika (): помогите пожалуйста!!!надо доказать признак делимости на "2"    Ответ редакции

В каком классе?

Lika (): В вузе    Ответ редакции

Любое натуральное число n представимо в виде 10a+b, где b - его последняя цифра.
10a делится на 2 нацело (в результате получается 5a).
Дальше рассказывать?

Елена ():

Здравствуйте! Пожалуйста помогите решуить задачу 4a - 5b делится на 13, a и b - целые числа.
Доказать, что 8a -13b делится на 13.

Glafira ():

Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачу - Найти наибольшее двухзначное число n при котором остаток от деления числа (3 в степени n + 7 в степени n) на 16, если такое число n существует.

Glafira ():

Извините пропустила в условии, что остаток равен 2. Условие еще раз :) Помогите пожалуйста решить задачу - Найти наибольшее двухзначное число n при котором остаток от деления числа (3 в степени n + 7 в степени n) на 16 равен 2, если такое число n существует.

Аноним (): Это гавно, т.к. ваш признак не работает для 49, 4123. (не работает для 7 и 13). Тот кто это писал наверное не знает сколько будет 2 + 2, а для вывода признаков нужно знать много чего...    Ответ редакции

Что именно не работает, "это гавно"?

Галина (): здравствуйте. докажите, что число 1150986753 кратно числу 283    Ответ редакции

283 простое, поэтому кроме как поделить столбиком ничего не могу посоветовать.

foxAfrica ():

Подскажите мне пожалуйста 5 чисел, которые делятся и на 11 и на 7
7700
7007
7777
771111=5929
77711=3773

Кукурузник ():

У вас в признаке на 7 ваще гомно получается

рита ():

Как объяснить 228475 и 27645475 делится на 13 и 19?

Аноним ():

сумма цифр трехзначного числа равна 7. Доказать,что это число делится га 7 тогда и только тогда, когда две его последние цифры равны. помогите решить очень надо

Катя ():

Подскажите пожалуйста как решить задачу? Трехзначное число abc делится на 17, девятизначное число a000b000c делится на 37. найдите число abc .

Аноним ():

прекрасный сайт мне понравилось по нему работать

Аноним (): напиши сколько последовательных двузначных чисел чтобы среди них хотя бы два числа при делении на 7 давали одинаковые остатки    Ответ редакции

Условие немножко по-странному написано.
Два последовательных числа всегда дают разные остатки при делении на 7.
Более того, даже семь последовательных чисел дают разные остатки при делении на 7: 0,1,2,3,4,5,6 (возможно в другом порядке).
Чтобы в группе послеловательных чисел нашлось два, дающих одинаковые остатки на 7, нужно, чтобы в этой группе было 8 (или больше) чисел.
Количество цифр в числах (двузначность, трёхзначность) не имеет значения.

Аноним ():

цифру 7 разделить на шестизначное число что бы оканчивается на 4 сколько их

Эмма (): Докажите, что разность любого трехзначного числа и трехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.    Ответ редакции

Трёхназное числа abc равно 100a+10b+c, число, записанное теми же цифрами в обратном порядке — это cba, равное 100c+10b+a.
Разность между ними: (100a+10b+c)-(100c+10b+a)= 99a-99c = 99(a-b)
Очевидно, что эта разность делится на 99, а значит и на 9, и на 11.

вася ():

1. Сложили 111 тысяч, 11 десятков и 11 единиц. Какой остаток получится от деления суммы на 7?

ваня (): Число состоит из 2011 единиц. Какой у него остаток при делении на 11?    Ответ редакции

Ваня, остаток будет равен 1.
Чтобы убедиться в этом, нужно рассмотреть число, на 1 меньшее твоего. Это будет 2010 единиц и ноль в конце. Если мы посчитаем знакопеременную сумму цифр этого числа (это будет 0-1+1-1+1.... - всего будет 1005 пар вида "минус один плюс один"), то получим ноль. Это значит, что число с нулём в конце разделится на 11 нацело. Очевидно, что следующее за ним число даст остаток при делении на 11, равный 1.
(Потому что остатки последовательно равны 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0,1,2 ....)

Аноним (): как рассуждать в примере доказать делимость на 11 суммы 7 в степени 2н+1 и 4 в той же степени?    Ответ редакции

Скорее всего, нужно воспользоваться формулой суммы нечётных степеней:
x2n + 1 + y2n + 1 = (x + y) (x2nx2n – 1y + x2n – 2y2 – ... – xy2n – 1 + y2n)
Можем вычислить первый множитель справа: (x + y). Он как раз и будет равен 11.

Аноним (): Спасибо!В каком классе изучают эту формулу?(кроме х в кубе плюс у в кубе?)    Ответ редакции

Вот этого не знаем. Вот нашлось , опирающееся на формулу суммы членов геометрической прогрессии — её, вроде бы, учат довольно рано.

Аноним ():

Спасибо!Док-во тоже прочитала,и следствия из него.Будем умнее!

Аноним ():

признаки делимости на 7 и 13

Я ():

Очень хороший сайт. Всем, кто плохо отзывается, хочется сказать : "Завидуйте молча или наймите репетиторов!!!"))))

е6гоено (): читаю коменты и понимаю, что все пользователи неблагодарные свиньи, а редакция и сайт отлчные!!!!!    Ответ редакции

Не все, но всё равно спасибо за понимание.

Аноним (): Докажите,что разность между двузначным числом и числом,записанным этими же числами в обратном порядке, делится на 11...    Ответ редакции

Не делится.
32 — 23 = 9, например.
На 9 делится всегда.

Аноним (): А как это записать в виде букв?    Ответ редакции

Вот здесь вот записано в виде букв для трёхзначных чисел:
Предоставляем вам возможность переписать это в виде букв в случае двухзначных чисел.

Аноним (): Нет,я имею в виду,как записать в виде букв то,что не делится...    Ответ редакции

Записываете разность между ab и ba - получается 9(a-b)
Чтобы это число делилось на 11 (11 - простое), нужно чтобы или 9, или (a-b) делилось на 11.
9 на 11 не делится, смотрим на второй множитель.
a,b - это цифры, значит a-b может принимать значение в диапазоне от -9 до +9. Единственное число из этого диапазона, которое делится на 11 - это 0.
Этот ноль возникает только тогда, когда a=b.
Значит разность между двухзначным числом и числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке делится на 11 только тогда, когда число состоит из двух одинаковых цифр. 11, 22, и так до 99.

Аноним ():

спасибо!

Dan (): Подскажите пожалуйста, не могу разобраться со знакопеременными суммами.
Вот есть число 749, оно делится на 7. 749/7=107.
Но знакопеременная сумма 749 будет выглядеть так 7-4+9, а это равно 12 и на 7 не делится.
Видимо я неправильно понимаю суть понятия - знакопеременная сумма.
Заранее благодарю за ответ.    Ответ редакции

Знакопеременная сумма является критерием делимости на 11, а не на 7.
Например 759: 7-5+9 = 11, значит 759 делится на 11.

Алена (): Подскажите пожалуйста нужно найти минимально возможное число, составленное из цифр 99 такое, чтобы оно делилось на 7,11,13 без остатка    Ответ редакции

Из девяток?

Оля ():

Число а делится на 99. Докажите, что сумма его цифр не меньше 18. Заранее спасибо

Аноним (): а для числа 1001 ваш признак на 7 ни хя ни годится    Ответ редакции

Вы просто не умеете его применять, хамло.

мяясо ():

чёт трудновато)

кекулес (): Найдите наименьшее четырёхзначное число, не делящееся на 10 и обладающее следующим свойством: если переставить цифры в обратном порядке, то получится число, которое кратно первоначальному, причём частное отлично от единицы.    Ответ редакции

Таких числа всего два: 1089 и 2178
1089 9 = 9801
2178 4 = 8712
Если рассмотреть сумму abcd + dcba, то она будет гарантированно делиться на 11.
Строгое доказательство быстро не придумывается.

Аноним (): Помогите. Четырёх значное число делится на 13 , даёт остаток 11. Полученное число делится на 11 , даёт остаток 7. Полученное число делится на 7 , даёт остаток 5.    Ответ редакции

Не очень понятно, что имеется в виду под "полученным числом". Целая часть от деления? Если да, то все такие числа имеют вид 1001x+817, самое маленькое из них 1818.

Комментарий от новенького: Новенький является анонимом по имени: владельцем openid: Новенький не робот Знаки на картинке: латинские буквы, арабские цифры

Источник: http://petruchek.info/blog/divisibility-11.html

X

Как сделать маленькое число фото


Как сделать маленькое число

Как сделать маленькое число

Как сделать маленькое число

Как сделать маленькое число

Как сделать маленькое число

Как сделать маленькое число

Как сделать маленькое число

Далее: